# Lecture 04 - Amdahls Law

# Integrated Circuit Cost

積體電路的成本可以用以下三個公式來表示：

\text{Cost per die} = \frac{\text{Cost per wafer}}{\text{Dies per wafer} \times \text{Yield}}

\text{Dies per wafer} \approx \frac{\text{Wafer area}}{\text{Die area}}

\text{Yield} = \frac{1}{[1 + (\text{Defects per area} \times \text{Die area})]^2}

Nonlinear relation to area and defect rate:
- Wafer cost and area are fixed
- Defect rate determined by manufacturing process
- Die area determined by architecture and circuit design

要評價兩台計算機之間的性能，可以透過比較 工作負載（workload） 所運行的時間來完成，或是使用一組專門用於測量性能的 基準測試程序 (benchmark)：

工作負載（workload）：運行在計算機上的一組程序，可以直接使用用户的一组實際應用程序，也可以從實際程序中創建，一個典型的工作負載必須指明程序和相應的頻率。
基準測試程序 (benchmark)：用於比較計算機性能的程序。

SPEC (system perlormance evaluation cooperative) 是由許多計算機銷售商共同支持的組織，為現代計算機系統建立了基準測試程序集，用以評估 CPU, I/O, Web... 的效能。當前最新的標準是 SPEC CPU 2006：

\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} \text{Execution time ratio}_{i}}

由於能源損耗日益重要，SPEC 增加了一組用於評估功耗的基準測試程序 SPECpower（源自於 Java 商用 SPEC 基準程序 SPECJBB2005）。為了簡化計算結果，採用數字 overall ssj—ops per watt 表示：

\text{Overall ssj\_ops per Watt} = \frac{\sum_{i=0}^{10} \text{ssj\_ops}_{i}}{\sum_{i=0}^{10} \text{power}\_{i}}

其中 $\text{ssj\_ops}$ 為工作負載在每 10% 增量處的性能， $\text{power}$ 是對應的功耗。

改進後的程式執行時間可以使用 Amdahl's Law 計算：

T_{\text{improved}} = \frac{T_{\text{affected}}}{\text{improvemen t factor}} + T_{\text{unaffected}}

上式闡述了 對於特定改進的性能提升可能由所使用的改進特徵數量所限制，驗證了經濟學上的邊際效益遞減法則。

舉個例子說：

假設一個程式在一台計算機上運行需要 100 秒，其中的 80 秒的時間用於乘法操作。若要將該程式的運行速度提高五倍，則乘法操作速度應該改進多少？

由 Amdahl's Law 可知：

\frac{80}{5} = \frac{80}{n} + (100-80)

\implies 20 = \frac{80}{n} + 20

由上可知無論怎样改進乘法操作，也不可能使性能達到五倍的結果。

每秒百萬條指令（MIPS, Millions of Instructions Per Second） 是一種取代時間來衡量效能的方法。對於一個給定的程式，MIPS 表示為：

\begin{aligned} \text{MIPS} &= \frac{\text{Instruction Count}}{\text{Execution time} \times 10^6} \\ &= \frac{\text{Instruction Count}}{\frac{\text{Instruction count} \times \text{CPI}}{\text{Clock Rate}} \times 10^6} = \frac{\text{Clock rate}}{\text{CPI} \times 10^6} \end{aligned}

採用 MIPS 作為指標沒有考慮到以下問題：